WBBSE Class 10 Math Solution কষে দেখি 1.5 | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Koshe Dekhi 1.5) | page 29

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ-এর অন্তর্গত কষে দেখি 1.5 (Koshe Dekhi 1.5)-এর প্রতিটি অঙ্কের সহজ, ধাপে ধাপে সম্পূর্ণ সমাধান নিচে দেওয়া হলো[cite: 1, 2]।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি (Important Formulas):
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (Discriminant) = b² − 4ac
• b² − 4ac > 0 হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
• b² − 4ac = 0 হলে বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
• b² − 4ac < 0 হলে কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।
• সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে: α + β = −b/a এবং αβ = c/a
• α ও β বীজবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ: x² − (α + β)x + αβ = 0

কষে দেখি 1.5 — সম্পূর্ণ সমাধান (১ থেকে ১১ নং প্রশ্ন)

১. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—[cite: 1]

(i) 2x² + 7x + 3 = 0[cite: 1] সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 2, b = 7, c = 3.
∴ নিরূপক (b² − 4ac) = (7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25 > 0.
উত্তর: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

(ii) 3x² − 2√6x + 2 = 0[cite: 1] সমাধান:
এখানে a = 3, b = −2√6, c = 2.
∴ নিরূপক (b² − 4ac) = (−2√6)² − 4 × 3 × 2 = 24 − 24 = 0.
উত্তর: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

(iii) 2x² − 7x + 9 = 0[cite: 1] সমাধান:
এখানে a = 2, b = −7, c = 9.
∴ নিরূপক (b² − 4ac) = (−7)² − 4 × 2 × 9 = 49 − 72 = −23 < 0.
উত্তর: সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(iv) 25x² − 23x + 1 = 0[cite: 1] সমাধান:
এখানে a = 25, b = −23, c = 1.
∴ নিরূপক (b² − 4ac) = (−23)² − 4 × 25 × 1 = 49 − 85 = 20 − 7245 = −5245 < 0.
উত্তর: সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ নেই।

২. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—[cite: 1]

(i) 49x² + kx + 1 = 0[cite: 1] সমাধান:
সমীকরণটির বাস্তব ও সমান বীজ থাকার শর্তানুযায়ী, নিরূপক = 0
⇒ k² − 4 × 49 × 1 = 0
⇒ k² = 196 ⇒ k = ±√196 = ±14
নির্ণেয় মান: k = ±14

(ii) 3x² − 5x + 2k = 0[cite: 1] সমাধান:
বাস্তব ও সমান বীজের শর্তানুযায়ী,
(−5)² − 4 × 3 × 2k = 0
⇒ 25 − 24k = 0 ⇒ 24k = 25 ⇒ k = 2524
নির্ণেয় মান: k = 25/24

(iii) 9x² − 24x + k = 0[cite: 1] সমাধান:
বাস্তব ও সমান বীজের শর্তানুযায়ী,
(−24)² − 4 × 9 × k = 0
⇒ 576 − 36k = 0 ⇒ k = 57636 = 16
নির্ণেয় মান: k = 16

(iv) 2x² + 3x + k = 0[cite: 1] সমাধান:
বাস্তব ও সমান বীজের শর্তানুযায়ী,
(3)² − 4 × 2 × k = 0
⇒ 9 − 8k = 0 ⇒ 8k = 9 ⇒ k = 98
নির্ণেয় মান: k = 9/8

(v) x² − 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0[cite: 1] সমাধান:
বাস্তব ও সমান বীজের শর্তানুযায়ী,
{−2(5 + 2k)}² − 4 × 1 × 3(7 + 10k) = 0
⇒ 4(25 + 20k + 4k²) − 12(7 + 10k) = 0
উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:
⇒ 25 + 20k + 4k² − 21 − 30k = 0
⇒ 4k² − 10k + 4 = 0
⇒ 2k² − 5k + 2 = 0
⇒ 2k² − 4k − k + 2 = 0
⇒ 2k(k − 2) − 1(k − 2) = 0
⇒ (k − 2)(2k − 1) = 0
∴ k = 2 অথবা k = 12
নির্ণেয় মান: k = 2, 1/2

(vi) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0[cite: 1] সমাধান:
বাস্তব ও সমান বীজের শর্তানুযায়ী (যেখানে 3k + 1 ≠ 0),
{2(k + 1)}² − 4(3k + 1)k = 0
⇒ 4(k² + 2k + 1) − 4(3k² + k) = 0
উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:
⇒ k² + 2k + 1 − 3k² − k = 0
⇒ −2k² + k + 1 = 0
⇒ 2k² − k − 1 = 0
⇒ 2k² − 2k + k − 1 = 0
⇒ 2k(k − 1) + 1(k − 1) = 0
⇒ (k − 1)(2k + 1) = 0
∴ k = 1 অথবা k = −12
নির্ণেয় মান: k = 1, −1/2

৩. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—[cite: 1]

(i) 4, 2[cite: 1] সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 4 + 2 = 6 এবং গুণফল = 4 × 2 = 8.
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0
উত্তর: x² − 6x + 8 = 0

(ii) −4, −3[cite: 1] সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −4 + (−3) = −7 এবং গুণফল = (−4) × (−3) = 12.
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (−7)x + 12 = 0
উত্তর: x² + 7x + 12 = 0

(iii) −4, 3[cite: 1] সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −4 + 3 = −1 এবং গুণফল = (−4) × 3 = −12.
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (−1)x + (−12) = 0
উত্তর: x² + x − 12 = 0

(iv) 5, −3[cite: 1] সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 5 + (−3) = 2 এবং গুণফল = 5 × (−3) = −15.
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − 2x + (−15) = 0
উত্তর: x² − 2x − 15 = 0

৪ থেকে ১১ নং প্রশ্নের সমাধান

৪. m-এর মান কত হলে, 4x² + 4(3m − 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।[cite: 1] সমাধান:
ধরি, সমীকরণটির একটি বীজ α, তবে অপর বীজটি হবে 1α।
আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুণফল = ধ্রুবক পদx²-এর সহগ
⇒ α × 1α = m + 74
⇒ 1 = m + 74 ⇒ m + 7 = 4 ⇒ m = 4 − 7 = −3
নির্ণেয় মান: m = −3

৫. (b − c)x² + (c − a)x + (a − b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b = a + c[cite: 1] প্রমাণ:
প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান হওয়ায় নিরূপক = 0 হবে।
⇒ (c − a)² − 4(b − c)(a − b) = 0
⇒ (c² − 2ca + a²) − 4(ab − b² − ca + bc) = 0
⇒ c² − 2ca + a² − 4ab + 4b² + 4ca − 4bc = 0
⇒ a² + 4b² + c² − 4ab − 4bc + 2ca = 0
⇒ (a − 2b + c)² = 0
⇒ a − 2b + c = 0
⇒ 2b = a + c (প্রমাণিত)

৬. (a² + b²)x² − 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, ab = cd[cite: 1] প্রমাণ:
সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান হওয়ায় নিরূপক = 0 হবে।
⇒ {−2(ac + bd)}² − 4(a² + b²)(c² + d²) = 0
⇒ 4(a²c² + 2abcd + b²d²) − 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0
উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:
⇒ a²c² + 2abcd + b²d² − a²c² − a²d² − b²c² − b²d² = 0
⇒ −(a²d² − 2abcd + b²c²) = 0
⇒ (ad − bc)² = 0
⇒ ad − bc = 0 ⇒ ad = bc ⇒ ab = cd (প্রমাণিত)

৭. প্রমাণ করি যে, 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a ≠ b হয়।[cite: 1] প্রমাণ:
সমীকরণটির নিরূপক = {2(a + b)}² − 4 × 2(a² + b²) × 1
= 4(a² + 2ab + b²) − 8(a² + b²)
= 4a² + 8ab + 4b² − 8a² − 8b²
= −4a² + 8ab − 4b²
= −4(a² − 2ab + b²)
= −4(a − b)²
যেহেতু a ≠ b, তাই (a − b)² সর্বদা ধনাত্মক (> 0)। ফলে −4(a − b)² < 0 (ঋণাত্মক)।
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না (প্রমাণিত)।

৮. 5x² + 2x − 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, মান নির্ণয় করি।[cite: 1] প্রাথমিক তথ্য:
α + β = −25 এবং αβ = −35

(i) α² + β²[cite: 1]
= (α + β)² − 2αβ = (−25)² − 2(−35) = 425 + 65 = 4 + 3025 = 3425

(ii) α³ + β³[cite: 1]
= (α + β)³ − 3αβ(α + β) = (−25)³ − 3(−35)(−25) = −8125 − 1825 = −8 − 90125 = −98125

(iii) 1α + 1β[cite: 1]
= α + βαβ = −2/5−3/5 = 23

(iv) α²β + β²α[cite: 1]
= α³ + β³αβ = −98/125−3/5 = 98125 × 53 = 9875

৯. ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b² = 9ac.[cite: 1] প্রমাণ:
ধরি, সমীকরণটির একটি বীজ α, তবে অপর বীজটি হবে 2α।
বীজদ্বয়ের সমষ্টি: α + 2α = −ba ⇒ 3α = −ba ⇒ α = −b3a ...(i)
বীজদ্বয়ের গুণফল: α × 2α = ca ⇒ 2α² = ca ...(ii)
(i) নং সমীকরণ থেকে α-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
2(−b3a)² = ca ⇒ 2b²9a² = ca ⇒ 2b² = 9ac (প্রমাণিত)

১০. যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।[cite: 1] সমাধান:
ধরি, x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β।
∴ α + β = −p এবং αβ = 1.
নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় হবে 1α ও 1β।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 1α + 1β = α + βαβ = −p1 = −p
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = 1α × 1β = 1αβ = 11 = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (−p)x + 1 = 0
উত্তর: x² + px + 1 = 0

১১. x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।[cite: 1] সমাধান:
ধরি, x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β।
∴ α + β = −1 এবং αβ = 1.
নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় হবে α² ও β²।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β² = (α + β)² − 2αβ = (−1)² − 2(1) = 1 − 2 = −1
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = α²β² = (αβ)² = (1)² = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (−1)x + 1 = 0
উত্তর: x² + x + 1 = 0

১২. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)[cite: 2]

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)[cite: 2]

(i) x² − 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি[cite: 2] ব্যাখ্যা: বীজদ্বয়ের সমষ্টি = −(−6)/1 = 6.
সঠিক উত্তর: (c) 6[cite: 2]

(ii) x² − 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল −2 হলে, k-এর মান[cite: 2] ব্যাখ্যা: সমীকরণটি হলো x² − 3x + (k − 10) = 0. প্রশ্নানুসারে, k − 10 = −2 ⇒ k = 8.
সঠিক উত্তর: (c) 8[cite: 2]

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² − 4ac হবে[cite: 2] সঠিক উত্তর: (a) > 0[cite: 2]

(iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে[cite: 2] ব্যাখ্যা: b² − 4ac = 0 ⇒ 4ac = b² ⇒ c = b²4a.
সঠিক উত্তর: (d) c = b²/4a[cite: 2]

(v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (1α + 1β)-এর মান[cite: 2] ব্যাখ্যা: α + β = −83, αβ = 23. ∴ α + βαβ = −8/32/3 = −4.
সঠিক উত্তর: (c) −4[cite: 2]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি[cite: 2]

প্রশ্ন	সত্য / মিথ্যা	যুক্তি
(i) x2 + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।[cite: 2]	মিথ্যা	নিরূপক = 12 − 4(1)(1) = −3 < 0
(ii) x2 − x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।[cite: 2]	সত্য	নিরূপক = (−1)2 − 4(1)(2) = −7 < 0

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি[cite: 2]

(i) 7x² − 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত 2 : 3 (সমষ্টি = 12/7, গুণফল = 18/7; অনুপাত = 12 : 18 = 2 : 3)[cite: 2]

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = a (যেহেতু c/a = 1)[cite: 2]

(iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a + c = 0 (যেহেতু c/a = −1 ⇒ c = −a)[cite: 2]

১৩. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)[cite: 2]

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।[cite: 2] সমাধান:
নির্ণেয় সমীকরণ: x² − (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0
উত্তর: x² − 14x + 24 = 0

(ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।[cite: 2] সমাধান:
প্রশ্নানুসারে, −2k = 3kk ⇒ −2k = 3 ⇒ k = −23
উত্তর: k = −2/3

(iii) x² − 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (α − β)-এর মান লিখি।[cite: 2] সমাধান:
এখানে α + β = 22 এবং αβ = 105.
(α − β)² = (α + β)² − 4αβ = (22)² − 4 × 105 = 484 − 420 = 64
⇒ α − β = ±√64 = ±8
উত্তর: ±8

(iv) x² − x = k(2x − 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।[cite: 2] সমাধান:
x² − x = 2kx − k ⇒ x² − (1 + 2k)x + k = 0.
প্রশ্নানুসারে, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 0 ⇒ 1 + 2k = 0 ⇒ k = −12
উত্তর: k = −1/2

(v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।[cite: 2] সমাধান:
x² + bx + 12 = 0 সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই:
(2)² + b(2) + 12 = 0 ⇒ 4 + 2b + 12 = 0 ⇒ 2b = −16 ⇒ b = −8.
আবার, x² + bx + q = 0 সমীকরণে x = 2 এবং b = −8 বসিয়ে পাই:
(2)² + (−8)(2) + q = 0 ⇒ 4 − 16 + q = 0 ⇒ −12 + q = 0 ⇒ q = 12.
উত্তর: q = 12