কষে দেখি – 1.3 : রচনাধর্মী প্রশ্নোত্তর (প্রশ্ন ১ থেকে ৯)
সমাধান:
ধরি, ছোট ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি = $x$
$\therefore$ বড় ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি = $(x + 3)$
প্রশ্নানুসারে,
$x^2 + (x + 3)^2 = 117$
বা, $x^2 + x^2 + 6x + 9 = 117$
বা, $2x^2 + 6x + 9 - 117 = 0$
বা, $2x^2 + 6x - 108 = 0$
বা, $x^2 + 3x - 54 = 0$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x^2 + 9x - 6x - 54 = 0$
বা, $x(x + 9) - 6(x + 9) = 0$
বা, $(x + 9)(x - 6) = 0$
হয়, $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
অথবা, $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$ [গ্রাহ্য নয়, কারণ সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা]
$\therefore$ ছোট সংখ্যাটি = $6$ এবং বড় সংখ্যাটি = $6 + 3 = 9$
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যা দুটি হলো 6 এবং 9।সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = $h$ মিটার
$\therefore$ ত্রিভুজটির ভূমি = $(2h + 18)$ মিটার
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{2} \times (2h + 18) \times h = 360$
বা, $\frac{1}{2} \times 2(h + 9) \times h = 360$
বা, $h(h + 9) = 360$
বা, $h^2 + 9h - 360 = 0$
বা, $h^2 + 24h - 15h - 360 = 0$
বা, $h(h + 24) - 15(h + 24) = 0$
বা, $(h + 24)(h - 15) = 0$
হয়, $h - 15 = 0 \Rightarrow h = 15$
অথবা, $h + 24 = 0 \Rightarrow h = -24$ [গ্রাহ্য নয়, কারণ উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না]
সমাধান:
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি = $x$
শর্তানুসারে,
$2x^2 - 5x = 3$
বা, $2x^2 - 5x - 3 = 0$
বা, $2x^2 - 6x + x - 3 = 0$
বা, $2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
বা, $(x - 3)(2x + 1) = 0$
হয়, $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
অথবা, $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ [গ্রাহ্য নয়, কারণ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা]
সমাধান:
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ = $x$ কিমি/ঘণ্টা
$\therefore$ জিপগাড়ির গতিবেগ = $(x + 5)$ কিমি/ঘণ্টা
200 কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে মোটরগাড়ির সময় লাগে = $\frac{200}{x}$ ঘণ্টা
এবং জিপগাড়ির সময় লাগে = $\frac{200}{x + 5}$ ঘণ্টা
শর্তানুসারে,
$\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 5} = 2$
বা, $200\left(\frac{x + 5 - x}{x(x + 5)}\right) = 2$
বা, $\frac{200 \times 5}{x^2 + 5x} = 2$
বা, $2(x^2 + 5x) = 1000$
বা, $x^2 + 5x = 500$
বা, $x^2 + 5x - 500 = 0$
বা, $x^2 + 25x - 20x - 500 = 0$
বা, $x(x + 25) - 20(x + 25) = 0$
বা, $(x + 25)(x - 20) = 0$
হয়, $x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20$
অথবা, $x + 25 = 0 \Rightarrow x = -25$ [গ্রাহ্য নয়, কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না]
সমাধান:
জমিটির পরিসীমা = $180$ মিটার
$\therefore 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 180$
বা, $\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ} = 90$ মিটার
ধরি, জমিটির দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার
$\therefore$ জমিটির প্রস্থ = $(90 - x)$ মিটার
শর্তানুসারে,
$x(90 - x) = 2000$
বা, $90x - x^2 = 2000$
বা, $x^2 - 90x + 2000 = 0$
বা, $x^2 - 50x - 40x + 2000 = 0$
বা, $x(x - 50) - 40(x - 50) = 0$
বা, $(x - 50)(x - 40) = 0$
$\therefore x = 50$ অথবা $x = 40$।
সাধারণত দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে বড় হয়, তাই দৈর্ঘ্য = $50$ মিটার এবং প্রস্থ = $(90 - 50) = 40$ মিটার।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = $x$
$\therefore$ দশকের ঘরের অঙ্ক = $(x - 3)$
$\therefore$ সংখ্যাটি = $10(x - 3) + x = 10x - 30 + x = 11x - 30$
এবং অঙ্ক দুটির গুণফল = $x(x - 3) = x^2 - 3x$
শর্তানুসারে,
$(11x - 30) - (x^2 - 3x) = 15$
বা, $11x - 30 - x^2 + 3x = 15$
বা, $-x^2 + 14x - 45 = 0$
বা, $x^2 - 14x + 45 = 0$
বা, $x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
বা, $x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
বা, $(x - 9)(x - 5) = 0$
$\therefore x = 9$ অথবা $x = 5$।
(উভয় মানই গ্রহণযোগ্য; $x=9$ হলে সংখ্যাটি $69$ এবং $x=5$ হলে সংখ্যাটি $25$)
সমাধান:
ধরি, প্রথম নলটি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে $x$ মিনিটে
$\therefore$ দ্বিতীয় নলটি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে $(x + 5)$ মিনিটে
1 মিনিটে প্রথম নল পূর্ণ করে = $\frac{1}{x}$ অংশ
1 মিনিটে দ্বিতীয় নল পূর্ণ করে = $\frac{1}{x + 5}$ অংশ
$\therefore$ নল দুটি একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে = $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right)$ অংশ
আবার, দুটি নল একত্রে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করে $11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$ মিনিটে।
অর্থাৎ, একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে = $\frac{9}{100}$ অংশ।
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{9}{100}$
বা, $\frac{x + 5 + x}{x(x + 5)} = \frac{9}{100}$
বা, $\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{9}{100}$
বা, $9(x^2 + 5x) = 100(2x + 5)$
বা, $9x^2 + 45x = 200x + 500$
বা, $9x^2 - 155x - 500 = 0$
বা, $9x^2 - 180x + 25x - 500 = 0$
বা, $9x(x - 20) + 25(x - 20) = 0$
বা, $(x - 20)(9x + 25) = 0$
হয়, $x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20$
অথবা, $9x + 25 = 0 \Rightarrow x = -\frac{25}{9}$ [গ্রাহ্য নয়, সময় ঋণাত্মক হতে পারে না]
$\therefore$ প্রথম নলটি সময় নেয় $20$ মিনিট এবং দ্বিতীয় নলটি সময় নেয় $20 + 5 = 25$ মিনিট।
উত্তর: নল দুটি পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে যথাক্রমে 20 মিনিট ও 25 মিনিটে পূর্ণ করবে।সমাধান:
ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি সম্পন্ন করে $x$ দিনে
$\therefore$ পীযূষ একাকী কাজটি সম্পন্ন করে $(x + 6)$ দিনে
1 দিনে পর্ণা করে $\frac{1}{x}$ অংশ এবং পীযূষ করে $\frac{1}{x + 6}$ অংশ।
উভয়ে একত্রে 1 দিনে করে $\frac{1}{4}$ অংশ।
শর্তানুসারে,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{x + 6 + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}$
বা, $\frac{2x + 6}{x^2 + 6x} = \frac{1}{4}$
বা, $x^2 + 6x = 8x + 24$
বা, $x^2 - 2x - 24 = 0$
বা, $x^2 - 6x + 4x - 24 = 0$
বা, $x(x - 6) + 4(x - 6) = 0$
বা, $(x - 6)(x + 4) = 0$
হয়, $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
অথবা, $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ [গ্রাহ্য নয়, দিন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]
সমাধান:
আমরা জানি, 1 ডজন = 12 টি।
ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন (12 টি) কলমের মূল্য ছিল $x$ টাকা।
$\therefore$ পূর্বে 1 টি কলমের মূল্য ছিল = $\frac{x}{12}$ টাকা।
মূল্য কমার পর প্রতি ডজন কলমের মূল্য = $(x - 6)$ টাকা।
$\therefore$ বর্তমানে 1 টি কলমের মূল্য = $\frac{x - 6}{12}$ টাকা।
30 টাকায় পূর্বে কলম পাওয়া যেত = $\frac{30}{\frac{x}{12}} = \frac{360}{x}$ টি
30 টাকায় বর্তমানে কলম পাওয়া যায় = $\frac{30}{\frac{x - 6}{12}} = \frac{360}{x - 6}$ টি
শর্তানুসারে,
$\frac{360}{x - 6} - \frac{360}{x} = 3$
বা, $360\left(\frac{x - x + 6}{x(x - 6)}\right) = 3$
বা, $\frac{360 \times 6}{x^2 - 6x} = 3$
বা, $3(x^2 - 6x) = 2160$
বা, $x^2 - 6x = 720$
বা, $x^2 - 6x - 720 = 0$
বা, $x^2 - 30x + 24x - 720 = 0$
বা, $x(x - 30) + 24(x - 30) = 0$
বা, $(x - 30)(x + 24) = 0$
হয়, $x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$
অথবা, $x + 24 = 0 \Rightarrow x = -24$ [গ্রাহ্য নয়, কারণ মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না]
১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা —
(ii) $ax^2 + bx + c = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণ হলে —
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত —
(iv) $4(5x^2 - 7x + 2) = 5(4x^2 - 6x + 3)$ সমীকরণটি —
(v) $\frac{x^2}{x} = 6$ সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয় —
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ব্যাখ্যা: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ উভয়পক্ষ সর্বদা সমান, তাই এটি একটি অভেদ (Identity), দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। উত্তর: মিথ্যা(ii) $x^2 = 25$ সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5।
ব্যাখ্যা: $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$। অর্থাৎ সমীকরণটির দুটি বীজ আছে (+5 এবং -5)। উত্তর: মিথ্যা(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) যদি $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণটির $a = 0$ এবং $b \neq 0$ হয়, তবে সমীকরণটি একটি ________ সমীকরণ।
উত্তর: রৈখিক (বা একঘাত)(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো ________।
ব্যাখ্যা: $(x - 1)(x - 1) = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$ উত্তর: $x^2 - 2x + 1 = 0$(iii) $x^2 = 6x$ সমীকরণটির বীজদ্বয় ________ ও ________।
ব্যাখ্যা: $x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0, 6$ উত্তর: 0 ও 6১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
সমাধান: যেহেতু $x^2 + ax + 3 = 0$ সমীকরণের একটি বীজ $1$, তাই $x = 1$ বসিয়ে পাই:
$(1)^2 + a(1) + 3 = 0$
বা, $1 + a + 3 = 0$
বা, $a + 4 = 0 \Rightarrow a = -4$
সমাধান: ধরি, অপর বীজটি = $\alpha$।
আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{-এর সহগ}} = \frac{6}{1} = 6$
$\therefore 2 \times \alpha = 6 \Rightarrow \alpha = \frac{6}{2} = 3$
সমাধান: ধরি, অপর বীজটি = $\beta$।
বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{4}{2} = 2$
$\therefore 2 \times \beta = 2 \Rightarrow \beta = 1$
সমাধান: ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি = $x$ (যেখানে $0 < x < 1$) এবং এর অন্যোন্যক = $\frac{1}{x}$।
প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে $\frac{1}{x} > x$ হয়।
$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণটি হলো: $\frac{1}{x} - x = \frac{9}{20}$
বা, $\frac{1 - x^2}{x} = \frac{9}{20} \Rightarrow 20x^2 + 9x - 20 = 0$
সমাধান:
বীজদ্বয়ের গুণফল = $(-5) \times (-7) = 35$
সূত্রানুসারে, বীজদ্বয়ের গুণফল = $\frac{35}{a}$
$\therefore \frac{35}{a} = 35 \Rightarrow a = 1$
আবার, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $(-5) + (-7) = -12$
সূত্রানুসারে, বীজদ্বয়ের সমষ্টি = $-\frac{b}{a}$
$\therefore -\frac{b}{1} = -12 \Rightarrow b = 12$