অধ্যায় ১: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with One Variable)
অনুশীলনী: কষে দেখি 1.2 (পৃষ্ঠা ১০ ও ১১-এর সম্পূর্ণ সমাধান)
১. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:
(i) x² + x + 1 = 0, মান দুটি 1 ও -1
সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ = x² + x + 1
• x = 1 বসিয়ে পাই: (1)² + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0 (ডানপক্ষ)
• x = -1 বসিয়ে পাই: (-1)² + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 ≠ 0 (ডানপক্ষ)
(ii) 8x² + 7x = 0, মান দুটি 0 ও -2
সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ = 8x² + 7x
• x = 0 বসিয়ে পাই: 8(0)² + 7(0) = 0 + 0 = 0 = ডানপক্ষ
• x = -2 বসিয়ে পাই: 8(-2)² + 7(-2) = 8(4) - 14 = 32 - 14 = 18 ≠ 0
(iii) x + 1x = 136, মান দুটি 56 ও 43
সমাধান: বামপক্ষ = x + 1x
• x = 56 বসিয়ে পাই: 56 + 65 = 25 + 3630 = 6130 ≠ 136
• x = 43 বসিয়ে পাই: 43 + 34 = 16 + 912 = 2512 ≠ 136
(iv) x² - √3x - 6 = 0, মান দুটি -√3 ও 2√3
সমাধান: বামপক্ষ = x² - √3x - 6
• x = -√3 বসিয়ে পাই: (-√3)² - √3(-√3) - 6 = 3 + 3 - 6 = 0 = ডানপক্ষ
• x = 2√3 বসিয়ে পাই: (2√3)² - √3(2√3) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0 = ডানপক্ষ
২. k-এর মান নির্ণয় করি:
(i) k-এর কোন মানের জন্য 7x² + kx - 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 23 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান: যেহেতু 23 সমীকরণটির একটি বীজ, তাই x = 23 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
⇒ 7(23)² + k(23) - 3 = 0
⇒ 7 × 49 + 2k3 - 3 = 0
⇒ 289 + 2k3 - 3 = 0
⇒ 28 + 6k - 279 = 0
⇒ 6k + 1 = 0 ⇒ 6k = -1 ⇒ k = -16
(ii) k-এর কোন মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান: সমীকরণটিতে x = -a বসিয়ে পাই:
⇒ (-a)² + 3a(-a) + k = 0
⇒ a² - 3a² + k = 0
⇒ -2a² + k = 0 ⇒ k = 2a²
৩. যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 23 এবং -3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: সমীকরণটিতে x = 23 বসিয়ে পাই:
a(23)² + 7(23) + b = 0
⇒ 4a9 + 143 + b = 0
⇒ 4a + 42 + 9b = 0 ⇒ 4a + 9b = -42 ... (i)
আবার, সমীকরণটিতে x = -3 বসিয়ে পাই:
a(-3)² + 7(-3) + b = 0
⇒ 9a - 21 + b = 0 ⇒ b = 21 - 9a ... (ii)
(i) নং সমীকরণে b-এর মান বসিয়ে পাই:
4a + 9(21 - 9a) = -42
⇒ 4a + 189 - 81a = -42
⇒ -77a = -42 - 189 ⇒ -77a = -231 ⇒ a = -231-77 = 3
(ii) নং সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই: b = 21 - 9(3) = 21 - 27 = -6
৪. সমাধান করি (Solve):
(i) 3y² - 20 = 160 - 2y²
⇒ 3y² + 2y² = 160 + 20
⇒ 5y² = 180 ⇒ y² = 1805 = 36 ⇒ y = ±√36 = ±6
(ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
⇒ (4x² + 4x + 1) + (x² + 2x + 1) = 6x + 47
⇒ 5x² + 6x + 2 = 6x + 47
⇒ 5x² = 47 - 2 ⇒ 5x² = 45 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3
(iii) (x - 7)(x - 9) = 195
⇒ x² - 9x - 7x + 63 - 195 = 0
⇒ x² - 16x - 132 = 0
⇒ x² - 22x + 6x - 132 = 0
⇒ x(x - 22) + 6(x - 22) = 0 ⇒ (x - 22)(x + 6) = 0
হয় x - 22 = 0 ⇒ x = 22 অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = -6
(iv) 3x - 24x = x3, x ≠ 0
⇒ 3x - x3 = 24x
⇒ 9x - x3 = 24x ⇒ 8x3 = 24x
⇒ 8x² = 72 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3
(v) x3 + 3x = 15x, x ≠ 0
⇒ x3 = 15x - 3x ⇒ x3 = 12x
⇒ x² = 36 ⇒ x = ±6
(vi) 10x - 1x = 3, x ≠ 0
⇒ 10x² - 1x = 3 ⇒ 10x² - 3x - 1 = 0
⇒ 10x² - 5x + 2x - 1 = 0
⇒ 5x(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0 ⇒ (2x - 1)(5x + 1) = 0
হয় 2x - 1 = 0 ⇒ x = 12 অথবা, 5x + 1 = 0 ⇒ x = -15
(vii) 2x² - 5x + 2 = 0, x ≠ 0
উভয়পক্ষকে x² দ্বারা গুণ করে পাই: 2 - 5x + 2x² = 0
⇒ 2x² - 4x - x + 2 = 0
⇒ 2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0 ⇒ (x - 2)(2x - 1) = 0
(viii) (x - 2)(x + 2) + 6(x - 2x - 6) = 1, x ≠ -2, 6
⇒ 6(x - 2x - 6) = 1 - x - 2x + 2 = x + 2 - x + 2x + 2 = 4x + 2
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: 3(x - 2)x - 6 = 2x + 2
⇒ 3(x - 2)(x + 2) = 2(x - 6)
⇒ 3(x² - 4) = 2x - 12 ⇒ 3x² - 12 = 2x - 12
⇒ 3x² - 2x = 0 ⇒ x(3x - 2) = 0
(ix) 1x - 3 - 1x + 5 = 16, x ≠ 3, -5
⇒ (x + 5) - (x - 3)(x - 3)(x + 5) = 16
⇒ 8x² + 2x - 15 = 16
⇒ x² + 2x - 15 = 48 ⇒ x² + 2x - 63 = 0
⇒ x² + 9x - 7x - 63 = 0 ⇒ (x + 9)(x - 7) = 0
(x) xx + 1 + x + 1x = 2112, x ≠ 0, -1
ধরি, xx + 1 = a; তাহলে সমীকরণটি হয়: a + 1a = 2512
⇒ a² + 1a = 2512 ⇒ 12a² - 25a + 12 = 0
⇒ 12a² - 16a - 9a + 12 = 0 ⇒ (3a - 4)(4a - 3) = 0 ⇒ a = 43 অথবা 34
• যখন xx + 1 = 43 ⇒ 4x + 4 = 3x ⇒ x = -4
• যখন xx + 1 = 34 ⇒ 4x = 3x + 3 ⇒ x = 3
(xi) ax + ba + bx = cx + dc + dx [a ≠ b, c ≠ d, x ≠ -ab, -cd]
বজ্রগুণন করে পাই: (ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)
⇒ acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx
⇒ adx² + bc = bcx² + ad
⇒ (ad - bc)x² = ad - bc
যেহেতু a ≠ b এবং c ≠ d, তাই (ad - bc) ≠ 0 দ্বারা ভাগ করে পাই: x² = 1 ⇒ x = ±1
(xii) (2x + 1) + 32x + 1 = 4, x ≠ -12
ধরি, 2x + 1 = a; তাহলে a + 3a = 4
⇒ a² - 4a + 3 = 0 ⇒ (a - 3)(a - 1) = 0 ⇒ a = 3 অথবা a = 1
• যখন 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
• যখন 2x + 1 = 1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
(xiii) x + 12 + 2x + 1 = x + 13 + 3x + 1 - 56, x ≠ -1
পক্ষান্তর করে পাই: x + 12 - x + 13 + 56 = 3x + 1 - 2x + 1
⇒ 3(x + 1) - 2(x + 1) + 56 = 1x + 1
⇒ x + 66 = 1x + 1 ⇒ (x + 6)(x + 1) = 6
⇒ x² + 7x + 6 = 6 ⇒ x(x + 7) = 0
(xiv) 12x + 173x + 1 - 2x + 15x + 7 = 315, x ≠ -13, -7
⇒ (4 + 133x + 1) - (2 + 1x + 7) = 165
⇒ 2 + 133x + 1 - 1x + 7 = 165
⇒ 13(x + 7) - (3x + 1)(3x + 1)(x + 7) = 165 - 2 = 65
⇒ 10x + 903x² + 22x + 7 = 65 ⇒ 5x + 453x² + 22x + 7 = 35
⇒ 9x² + 66x + 21 = 25x + 225 ⇒ 9x² + 41x - 204 = 0
⇒ 9x² + 68x - 27x - 204 = 0 ⇒ (x - 3)(9x + 68) = 0
(xv) x + 3x - 3 + 6(x - 3x + 3) = 5, x ≠ 3, -3
ধরি, x + 3x - 3 = a; তাহলে a + 6a = 5
⇒ a² - 5a + 6 = 0 ⇒ (a - 3)(a - 2) = 0 ⇒ a = 3 অথবা a = 2
• যখন x + 3x - 3 = 3 ⇒ 3x - 9 = x + 3 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6
• যখন x + 3x - 3 = 2 ⇒ 2x - 6 = x + 3 ⇒ x = 9
(xvi) 1a + b + x = 1a + 1b + 1x, x ≠ 0, -(a + b)
⇒ 1a + b + x - 1x = 1a + 1b
⇒ x - a - b - xx(a + b + x) = b + aab
⇒ -(a + b)x² + ax + bx = (a + b)ab
উভয়পক্ষকে (a + b) দ্বারা ভাগ করে পাই: -1x² + ax + bx = 1ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0 ⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0 ⇒ (x + a)(x + b) = 0
(xvii) (x + ax - a)² - 5(x + ax - a) + 6 = 0, x ≠ a
ধরি, x + ax - a = p; তাহলে p² - 5p + 6 = 0
⇒ (p - 3)(p - 2) = 0 ⇒ p = 3 অথবা p = 2
• যখন x + ax - a = 3 ⇒ 3x - 3a = x + a ⇒ 2x = 4a ⇒ x = 2a
• যখন x + ax - a = 2 ⇒ 2x - 2a = x + a ⇒ x = 3a
(xviii) 1x - 1x + b = 1a - 1a + b, x ≠ 0, -b
⇒ x + b - xx(x + b) = a + b - aa(a + b)
⇒ bx² + bx = ba² + ab
⇒ x² + bx = a² + ab ⇒ (x² - a²) + b(x - a) = 0
⇒ (x - a)(x + a) + b(x - a) = 0 ⇒ (x - a)(x + a + b) = 0
(xix) 1(x - 1)(x - 2) + 1(x - 2)(x - 3) + 1(x - 3)(x - 4) = 16, x ≠ 1, 2, 3, 4
⇒ (1x - 2 - 1x - 1) + (1x - 3 - 1x - 2) + (1x - 4 - 1x - 3) = 16
⇒ 1x - 4 - 1x - 1 = 16
⇒ (x - 1) - (x - 4)(x - 4)(x - 1) = 16 ⇒ 3x² - 5x + 4 = 16
⇒ x² - 5x + 4 = 18 ⇒ x² - 5x - 14 = 0 ⇒ (x - 7)(x + 2) = 0
(xx) ax - a + bx - b = 2cx - c, x ≠ a, b, c
⇒ (ax - a - cx - c) = (cx - c - bx - b)
⇒ ax - ac - cx + ac(x - a)(x - c) = cx - bc - bx + bc(x - c)(x - b)
⇒ x(a - c)x - a = x(c - b)x - b [উভয়পক্ষকে (x - c) দিয়ে গুণ করে]
⇒ x [ a - cx - a - c - bx - b ] = 0
• হয় x = 0 অথবা, (a - c)(x - b) = (c - b)(x - a)
⇒ ax - ab - cx + bc = cx - ac - bx + ab
⇒ x(a + b - 2c) = 2ab - bc - ca ⇒ x = 2ab - bc - caa + b - 2c
(xxi) x² - (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² - √3x - 2x + 2√3 = 0
⇒ x(x - √3) - 2(x - √3) = 0
⇒ (x - √3)(x - 2) = 0