WBBSE Class 10 গণিত কষে দেখি 1.1 সমাধান | একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ — অধ্যায় ১: একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (কষে দেখি ১.১) সম্পূর্ণ নির্ভুল সমাধান।
১. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি:
(i) x² − 7x + 2
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) 7x5 − x(x + 2)
সরল করে পাই: 7x5 − x² − 2x
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 (যা 2 নয়)।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 (যা 2 নয়)।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) 2x(x + 5) + 1
সরল করে পাই: 2x² + 10x + 1
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) 2x − 1
এখানে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1 (এটি একটি রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালা)।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
২. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে লেখা যায় তা লিখি:
(i) x − 1 + 1x = 6 (x ≠ 0)
বা, x² − x + 1x = 6
বা, x² − x + 1 = 6x
বা, x² − 7x + 1 = 0
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় (যেখানে a = 1, b = −7, c = 1 এবং a ≠ 0)।
বা, x² − x + 1 = 6x
বা, x² − 7x + 1 = 0
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় (যেখানে a = 1, b = −7, c = 1 এবং a ≠ 0)।
(ii) x + 3x = x² (x ≠ 0)
বা, x² + 3x = x²
বা, x² + 3 = x³
বা, x³ − x² − 3 = 0
উত্তর: এটি ত্রিঘাত সমীকরণ, তাই ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।
বা, x² + 3 = x³
বা, x³ − x² − 3 = 0
উত্তর: এটি ত্রিঘাত সমীকরণ, তাই ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।
(iii) x² − 6√x + 2 = 0
এখানে √x = x1/2 রয়েছে, অর্থাৎ চলের ঘাত ভগ্নাংশ (অখণ্ড সংখ্যা নয়)।
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।
(iv) (x − 2)² = x² − 4x + 4
বা, x² − 4x + 4 = x² − 4x + 4
বা, 0 = 0 (এটি একটি অভেদ বা Identity)
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে লেখা যায় না।
বা, 0 = 0 (এটি একটি অভেদ বা Identity)
উত্তর: সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে লেখা যায় না।
৩. x6 − x³ − 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
প্রদত্ত সমীকরণ: x6 − x³ − 2 = 0
সমীকরণটিকে লেখা যায়: (x³)² − (x³)1 − 2 = 0
যদি x³ = y ধরি, তবে সমীকরণটি হয় y² − y − 2 = 0, যা y-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: সমীকরণটি চলের তৃতীয় ঘাত অর্থাৎ x³-এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সমীকরণটিকে লেখা যায়: (x³)² − (x³)1 − 2 = 0
যদি x³ = y ধরি, তবে সমীকরণটি হয় y² − y − 2 = 0, যা y-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: সমীকরণটি চলের তৃতীয় ঘাত অর্থাৎ x³-এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
৪. নীচের প্রশ্নগুলির সমাধান করি:
(i) (a − 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
একটি সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি x²-এর সহগ শূন্য হয়।
এখানে x²-এর সহগ = (a − 2)
শর্তানুসারে, a − 2 = 0 ⇒ a = 2
উত্তর: a = 2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
এখানে x²-এর সহগ = (a − 2)
শর্তানুসারে, a − 2 = 0 ⇒ a = 2
উত্তর: a = 2 এর জন্য সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
(ii) x4 − x = 13x (x ≠ 0, x ≠ 4)-কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
বজ্রগুণন করে পাই:
x × 3x = 1 × (4 − x)
বা, 3x² = 4 − x
বা, 3x² + x − 4 = 0
বা, 3x² + 1·x + (−4) = 0
উত্তর: x-এর সহগ হবে 1।
x × 3x = 1 × (4 − x)
বা, 3x² = 4 − x
বা, 3x² + x − 4 = 0
বা, 3x² + 1·x + (−4) = 0
উত্তর: x-এর সহগ হবে 1।
(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2-কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
3x² + 7x + 23 = (x² + 3x + 4x + 12) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² − x² + 7x − 7x + 23 − 14 = 0
বা, 2x² + 9 = 0
বা, 2x² + 0·x + 9 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 2x² + 0·x + 9 = 0 (বা 2x² + 9 = 0)।
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² − x² + 7x − 7x + 23 − 14 = 0
বা, 2x² + 9 = 0
বা, 2x² + 0·x + 9 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 2x² + 0·x + 9 = 0 (বা 2x² + 9 = 0)।
(iv) (x + 2)³ = x(x² − 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x0-এর সহগ লিখি।
বা, x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ − x
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ − x
বা, 6x² + 12x + x + 8 = 0
বা, 6x² + 13x + 8 = 0
উত্তর: সমীকরণটি 6x² + 13x + 8 = 0; যেখানে x²-এর সহগ = 6, x-এর সহগ = 13 এবং x0-এর সহগ = 8।
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ − x
বা, 6x² + 12x + x + 8 = 0
বা, 6x² + 13x + 8 = 0
উত্তর: সমীকরণটি 6x² + 13x + 8 = 0; যেখানে x²-এর সহগ = 6, x-এর সহগ = 13 এবং x0-এর সহগ = 8।
৫. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
মনে করি, একটি অংশ = x এবং অপর অংশটি = (42 − x)
শর্তানুসারে, x² = 42 − x
বা, x² + x − 42 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + x − 42 = 0।
শর্তানুসারে, x² = 42 − x
বা, x² + x − 42 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + x − 42 = 0।
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143।
মনে করি, প্রথম ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি = x
সুতরাং, পরবর্তী ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি = (x + 2)
শর্তানুসারে, x(x + 2) = 143
বা, x² + 2x − 143 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 2x − 143 = 0।
সুতরাং, পরবর্তী ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি = (x + 2)
শর্তানুসারে, x(x + 2) = 143
বা, x² + 2x − 143 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 2x − 143 = 0।
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313।
মনে করি, একটি সংখ্যা = x এবং পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যাটি = (x + 1)
শর্তানুসারে, x² + (x + 1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
বা, 2x² + 2x − 312 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: x² + x − 156 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + x − 156 = 0।
শর্তানুসারে, x² + (x + 1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
বা, 2x² + 2x − 312 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: x² + x − 156 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + x − 156 = 0।
৬. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = (কর্ণ)²
(x + 3)² + x² = 15²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, 2x² + 6x − 216 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: x² + 3x − 108 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 3x − 108 = 0।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = (কর্ণ)²
(x + 3)² + x² = 15²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, 2x² + 6x − 216 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: x² + 3x − 108 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 3x − 108 = 0।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
মনে করি, তিনি 80 টাকায় x কিগ্রা চিনি কিনেছিলেন।
প্রতি কিগ্রা চিনির প্রাথমিক দাম = 80x টাকা।
আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেলে মোট চিনি হতো = (x + 4) কিগ্রা এবং প্রতি কিগ্রার দাম হতো = 80x + 4 টাকা।
শর্তানুসারে, 80x − 80x + 4 = 1
বা, 80 × x + 4 − xx(x + 4) = 1
বা, 320x² + 4x = 1
বা, x² + 4x − 320 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 4x − 320 = 0।
প্রতি কিগ্রা চিনির প্রাথমিক দাম = 80x টাকা।
আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেলে মোট চিনি হতো = (x + 4) কিগ্রা এবং প্রতি কিগ্রার দাম হতো = 80x + 4 টাকা।
শর্তানুসারে, 80x − 80x + 4 = 1
বা, 80 × x + 4 − xx(x + 4) = 1
বা, 320x² + 4x = 1
বা, x² + 4x − 320 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 4x − 320 = 0।
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
মনে করি, ট্রেনটির প্রাথমিক গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা।
300 কিমি যেতে সময় লাগত = 300x ঘণ্টা।
গতিবেগ 5 কিমি/ঘণ্টা বাড়লে গতিবেগ হয় = (x + 5) কিমি/ঘণ্টা এবং সময় লাগত = 300x + 5 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 300x − 300x + 5 = 2
বা, 300 × x + 5 − xx(x + 5) = 2
বা, 1500x² + 5x = 2
বা, 2(x² + 5x) = 1500 ⇒ x² + 5x = 750
বা, x² + 5x − 750 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 5x − 750 = 0।
300 কিমি যেতে সময় লাগত = 300x ঘণ্টা।
গতিবেগ 5 কিমি/ঘণ্টা বাড়লে গতিবেগ হয় = (x + 5) কিমি/ঘণ্টা এবং সময় লাগত = 300x + 5 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 300x − 300x + 5 = 2
বা, 300 × x + 5 − xx(x + 5) = 2
বা, 1500x² + 5x = 2
বা, 2(x² + 5x) = 1500 ⇒ x² + 5x = 750
বা, x² + 5x − 750 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 5x − 750 = 0।
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
মনে করি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = x টাকা।
শতকরা লাভ = x%, অর্থাৎ মোট লাভ = x-এর x% = x²100 টাকা।
শর্তানুসারে, ক্রয়মূল্য + লাভ = বিক্রয়মূল্য
x + x²100 = 336
বা, 100x + x²100 = 336
বা, x² + 100x − 33600 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 100x − 33600 = 0।
শতকরা লাভ = x%, অর্থাৎ মোট লাভ = x-এর x% = x²100 টাকা।
শর্তানুসারে, ক্রয়মূল্য + লাভ = বিক্রয়মূল্য
x + x²100 = 336
বা, 100x + x²100 = 336
বা, x² + 100x − 33600 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² + 100x − 33600 = 0।
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
মনে করি, স্থির জলে নৌকার বেগ = x কিমি/ঘণ্টা (x > 2)।
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (x + 2) কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = (x − 2) কিমি/ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 21x + 2 + 21x − 2 = 10
বা, 21 × (x − 2) + (x + 2)(x + 2)(x − 2) = 10
বা, 21 × 2xx² − 4 = 10
বা, 10(x² − 4) = 42x
বা, 10x² − 42x − 40 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: 5x² − 21x − 20 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 5x² − 21x − 20 = 0।
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (x + 2) কিমি/ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে বেগ = (x − 2) কিমি/ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 21x + 2 + 21x − 2 = 10
বা, 21 × (x − 2) + (x + 2)(x + 2)(x − 2) = 10
বা, 21 × 2xx² − 4 = 10
বা, 10(x² − 4) = 42x
বা, 10x² − 42x − 40 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: 5x² − 21x − 20 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 5x² − 21x − 20 = 0।
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
মনে করি, একা মহিমের কাজটি করতে সময় লাগে = x ঘণ্টা এবং মজিদের সময় লাগে = (x + 3) ঘণ্টা।
মহিম 1 ঘণ্টায় করে 1x অংশ এবং মজিদ 1 ঘণ্টায় করে 1x + 3 অংশ।
উভয়ে একত্রে 2 ঘণ্টায় পুরো (1 অংশ) কাজটি শেষ করে, অর্থাৎ 1 ঘণ্টায় করে 12 অংশ।
শর্তানুসারে, 1x + 1x + 3 = 12
বা, x + 3 + xx(x + 3) = 12
বা, 2x + 3x² + 3x = 12
বা, x² + 3x = 4x + 6
বা, x² − x − 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² − x − 6 = 0।
মহিম 1 ঘণ্টায় করে 1x অংশ এবং মজিদ 1 ঘণ্টায় করে 1x + 3 অংশ।
উভয়ে একত্রে 2 ঘণ্টায় পুরো (1 অংশ) কাজটি শেষ করে, অর্থাৎ 1 ঘণ্টায় করে 12 অংশ।
শর্তানুসারে, 1x + 1x + 3 = 12
বা, x + 3 + xx(x + 3) = 12
বা, 2x + 3x² + 3x = 12
বা, x² + 3x = 4x + 6
বা, x² − x − 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² − x − 6 = 0।
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = (x + 6)।
সংখ্যাটি = 10 × x + (x + 6) = 11x + 6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6) = x² + 6x
শর্তানুসারে, x(x + 6) = (11x + 6) − 12
বা, x² + 6x = 11x − 6
বা, x² − 5x + 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² − 5x + 6 = 0।
সংখ্যাটি = 10 × x + (x + 6) = 11x + 6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6) = x² + 6x
শর্তানুসারে, x(x + 6) = (11x + 6) − 12
বা, x² + 6x = 11x − 6
বা, x² − 5x + 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x² − 5x + 6 = 0।
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।
খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 = 1800 বর্গমিটার।
মনে করি, রাস্তাটি চারিপাশে x মিটার চওড়া।
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = (45 + 2x) মিটার এবং প্রস্থ = (40 + 2x) মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গমিটার।
শর্তানুসারে, (45 + 2x)(40 + 2x) − 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² − 1800 = 450
বা, 4x² + 170x − 450 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: 2x² + 85x − 225 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 2x² + 85x − 225 = 0।
মনে করি, রাস্তাটি চারিপাশে x মিটার চওড়া।
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = (45 + 2x) মিটার এবং প্রস্থ = (40 + 2x) মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গমিটার।
শর্তানুসারে, (45 + 2x)(40 + 2x) − 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² − 1800 = 450
বা, 4x² + 170x − 450 = 0
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই: 2x² + 85x − 225 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 2x² + 85x − 225 = 0।